|
Прочитаем задачу №222 для седьмого класса учебника Атанасян:
Даны прямая а и точка A, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку A проведите прямую, параллельную прямой a.
Объяснение:
Основной идеей построения будет проведение перпендикуляра через точку A к данной прямой, затем проведение еще одного перпендикуляра к уже проведённому, снова через точку A. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они не пересекаются, то есть параллельны.
- Проведём дугу (обычно строят окружности, что приводит к появлению большого количества лишних линий и затрудняет понимание чертежа. Использование дуг не искажает математического смысла и упрощает чертеж) окружности произвольного радиуса с центром в точке А так, чтобы она пересекала прямую a в двух точках. Точки пересечения обозначим C и D.
- Проведём пересекающиеся дуги окружностей радиуса AC с центрами в точках C и D. Тогда одна из точек пересечения совпадёт с A, другую обозначим B. Проведём отрезки AC, AD, BC, BD и прямую AB.
- Прямая AB пересечёт прямую a, точку пересечения обозначим E. Проведём дугу окружности с центром в точке A и радиусом AE так, чтобы она пересекала прямую AE в точке, отличной от E. Точку пересечения обозначим F.
- Проведём пересекающиеся дуги окружностей радиуса EF с центрами в точках E и F. Точки пересечения обозначим H и K. Через точки H и K проведём прямую b. Проведём отрезки EH, EK, FH и KF.
- AC = AD = BC = BD (радиусы), AB - общая сторона, следовательно треугольники ABC и ABD равны по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠BAC (совпадает с углом EAC) = ∠ BAD (совпадает с углом EAD); Рассмотрим треугольник ACD: AC = AD (то есть он равнобедренный), углы EAC и EAD равны, следовательно AE - медиана, биссектриса и высота. То есть AB перпендикулярна a. HF = KF = EH = KE (радиусы EF), EF - общая сторона, следовательно треугольники EFH и EFK равны по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠EFH (совпадает с углом AFH) = ∠EFK (совпадает с углом AFK); Рассмотрим треугольник FHK: HF = KF (то есть он равнобедренный), углы AFH и AFK равны, следовательно FA - медиана, биссектриса и высота треугольника. Получаем что HK перпендикулярна AB, то есть прямая b перпендикулярна AB и прямая a перпендикулярна AB, следовательно они не пересекаются (если две прямые перпендикулярны третьей, то они не пересекаются), то есть параллельны, по определению, что и требовалось доказать.
|
