Прочитаем задачу №166 для седьмого класса учебника Атанасян:

Объяснение:

---

---

 

Строим пересекающиеся отрезки AB и CD как сказано в условии. По сути, нам нужно доказать две вещи: OM = ON и то, что точка O лежит на отрезке MN.
Углы AOC и BOD равны (вертикальные), CO = OD, AO = OB, следовательно треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠CAO (совпадает с углом MAO) = ∠DBO (совпадает с углом NBO), ∠ACO (совпадает с углом MCO) = ∠BDO (совпадает с углом NDO), AC = BD. Получаем: AM = CM = DN = BN (так как точки M и N середины равных отрезков AC и BD), ∠MAO = ∠NBO, ∠MCO = ∠NDO, AO = OB, CO = OD следовательно треугольники MAO и NBO и треугольники MCO и NDO равны по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: OM = ON, ∠MOA = ∠NOB, ∠MOC = ∠NOD. Развернутый ∠AOB = ∠AOC + ∠COB = 180°. ∠MON = ∠MOC + ∠COB + ∠NOB = ∠MOC + ∠COB + ∠MOA (∠MOA = ∠NOB) = ∠AOC + ∠COB = 180° то есть угол MON развернутый, следовательно точка O принадлежит отрезку MN и является его серединой (OM = ON), что и требовалось доказать.

Решение:

Открыть картинку в новой вкладке
Другие номера доступны по ссылке