На сторонах угла XOY отмечены точки A, B, C и D так, что OA = OB, AC = BD (рис. 97). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что OE - биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

1. OC = OD (OD = OB + BD, OC = OA + AC. Слагаемые равны по условию, следовательно равны и суммы), OA = OB, угол XOY - общий, следовательно треугольники ADO и CBO равны по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠ADO = ∠BCO и ∠DAO = ∠CBO.
2. ∠CAD (совпадает с углом CAE) = 180° - DAO (смежные),  ∠DBC (совпадает с углом DBE) = 180° - ∠CBO (смежные), следовательно углы CAE и DBE равны, ∠ACE (совпадет с углом BCO) = ∠BDE (совпадает с углом ADO), AC = BD, следовательно треугольники ACE и BDE равны по второму признаку равенства треугольников.
3. OC = OD (см. пункт 1), CE = DE (см. пункт 2), OE - общая сторона, следовательно треугольники OCE и ODE равны по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠COE = ∠DOE, следовательно OE - биссектриса угла XOY по определению.

1. Построим дугу окружности произвольного радиуса r с центром в вершине угла O. Точки пересечения дуги со сторонами угла обозначим A и B.
2. Построим дугу окружности произвольного радиуса r₁ (отличного от r) c центром в вершине угла O. Точки пересечения дуги со сторонами угла обозначим C и D.
3. Проведём отрезок AD, пересекающий CD в точке E. Полученный луч OE и будет искомой биссектрисой угла.

Решение:

Открыть картинку в новой вкладке
Другие номера доступны по ссылке