|
Прочитаем задачу №154 для седьмого класса учебника Атанасян:
Дан треугольник ABC. Постройте: а) Биссектрису AK; б) медиану BM; в) высоту CH треугольника.
Каждую букву разберем отдельно, для удобства будем строить дуги, вместо окружностей, т.к. дуги занимают меньше места на чертеже. а) Биссектрису AK:
- Построим дугу окружности произвольного (но меньше длин сторон, разумеется) радиуса с центром в точке A. Точки пересечения дуги окружности со сторонами треугольника ABC обозначим E и D. Проведём отрезок ED.
- Построим пересекающиеся во внутренней области угла BAC дуги окружности радиуса ED с центрами в точках E и D соответственно. Точку пересечения обозначим F. Проведём отрезки EF, DE, и AF. Продолжим AF до пересечения со стороной BC в точке K.
- Докажем, что AK - биссектриса треугольника ABC: AE = AD (равные радиусы), EF = DF (= ED равные радиусы), AF - общая сторона, следовательно треугольники AEF и ADF равны по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠EAF = ∠DAF, т.е. AF - биссектриса угла BAC по определению. AF ⊂ AK (читается AF вложено в AK или AF является подмножеством AK), следовательно AK - биссектриса треугольника ABC, что и требовалось доказать.
- Построим две дуги окружности радиуса AC с центрами в точках A и C. Точки пересечения обозначим E и F.
- Проведём отрезок EF, который пересечет сторону AC в точке М. Проведём BM.
- Докажем, что BM - медиана треугольника ABC: AE = AF = CE = CF (радиусы, равные AC), EF - общая сторона, следовательно треугольники AEF и CEF равны по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠AEM = ∠CEM. Рассмотрим треугольник AEC: AE = EC, следовательно EM - медиана, биссектриса и высота (свойство равнобедренного треугольника), следовательно M - середина стороны AC, значит BM - медиана треугольника ABC по определению, что и требовалось доказать.
- Продолжим сторону AB в обе стороны. Проведём дугу окружности произвольного радиуса r так, чтобы она пересекала сторону AB. Точки пересечения обозначим D и E.
- Проведём пересекающиеся дуги окружностей радиус r с центрами в точках D и E. Эти дуги пересекутся в двух точках, одна из которых C, другую обозначим F. Проведём отрезки CD, DF, CE, EF и CF. Отрезок CF пересечет сторону AB в точке H.
- Докажем, что CH - высота треугольника ABC: CD = DF = CE = EF = r (радиусы), CF - общая сторона, следовательно треугольники CDF и CEF равны по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠DCF = ∠ECF. Треугольник CDE - равнобедренный (CD=CE), следовательно CH - медиана, биссектриса и высота треугольника CDE, значит CH перпендикулярна AB и является высотой треугольника ABC по определению, что и требовалось доказать.
|
