Даны три точки A, B, C, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

1. Предположим что AD = BD = CD.
2. AD = BD = CD, следовательно треугольники ABD, CBD и ACD - равнобедренные по определению. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠BAD = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCD. Углы ABD и CBD в сумме составляют 180° (смежные), следовательно каждый из них равен 90°. Получаем: ∠BAD = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCD = 90°, то есть AD, BD и CD перпендикулярны прямой a. Это противоречит теореме: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и при том только один. Следовательно, наше предположение (см. п. 1.) не верно, а верно то, что требуется доказать.

Решение:

Открыть картинку в новой вкладке
Другие номера доступны по ссылке