|
Прочитаем задачу №184 для седьмого класса учебника Атанасян:
На стороне BC треугольника ABC постройте точку, равноудаленную от вершин A и C.
- Примем длину стороны AC за радиус. Проведём дуги окружностей радиуса AC с центрами в точках A и C. Точки пересечения дуг обозначим D и E. Проведём отрезки AD, CD, AE, CE и DE.
- Точку пересечения отрезков DE и BC обозначим M. Проведём отрезок AM.
- Докажем, что точка M - искомая: AD = AE = CD = CE (радиусы AC), AD - общая сторона, следовательно треугольники ADE и CDE равны по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠AED = ∠CED, то есть ED - биссектриса угла AEC. Треугольник ACE - равнобедренный (AE = CE), следовательно EF является медианой, биссектрисой и высотой (EF - часть биссектрисы ED). Получаем, что EF перпендикулярна AC. Рассмотрим треугольники MFA и MFC: MF - общая сторона, AF = CF, ∠MFA = ∠MFC = 90°, следовательно они равны по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: AM = CM, что и требовалось доказать.
| 
