Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, если AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, AM = A₁M₁, где AM и A₁M₁ - медианы треугольников.

1. Проведём AD - продолжение медианы AM так, что AM = DM. Проведём BD и CD. Проведём A₁D₁ - продолжение медианы A₁M₁ так, что A₁M₁ = D₁M₁. Проведём B₁D₁ и C₁D₁.
2. BM = MC (AM - медиана), AM = MD, ∠AMB = ∠CMD (вертикальные), следовательно треугольники ABM и CDM равны по первому признаку равенства треугольников. ∠BMD = ∠AMC (вертикальные), следовательно треугольники ACM и BDM равны по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: AC = BD, AB = CD. Аналогично треугольники A₁B₁M₁ и C₁D₁M₁ и треугольники A₁C₁M₁ и B₁D₁M₁ соответственно равны. Получаем: A₁C₁ = B₁D₁, A₁B₁ = C₁D₁.
3. AB = A₁B₁, следовательно AB = CD = A₁B₁ = C₁D₁ (см. п.2.); AC = A₁C₁, следовательно AC = BD = A₁C₁ = B₁D₁. AD = AM + MD = 2AM, A₁D₁ = A₁M₁ + M₁D₁ = 2A₁M₁, следовательно AD = A₁D₁ (так как AM = A₁M₁).
4. AB = A₁B₁ = CD = C₁D₁, AD = A₁D₁, AC = A₁C₁ = BD = B₁D₁, следовательно треугольники ABD и A₁B₁D₁ и треугольники ACD и A₁C₁D₁ соответственно равны по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны: ∠BAD = ∠B₁A₁D₁, ∠CAD = ∠C₁A₁D₁.
5. Угол BAC состоит из углов BAD и CAD, а угол B₁A₁C₁ состоит из углов B₁A₁D и C₁A₁D₁ (∠BAD = ∠B₁A₁D₁, ∠CAD = ∠C₁A₁D₁), следовательно углы BAC и B₁A₁C₁ равны, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, следовательно треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Решение: 

Открыть картинку в новой вкладке
Другие номера доступны по ссылке